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例说GeoGebra中的区域表示

发布于：2024-02-26 作者：admin 阅读：88

这篇文章是写给初学者的入门教程，作图过程尽量详细点，希望对有意学习的人有所帮助。

一、相交路径法

在中有个相交路径的指令，其含义为：

相交路径（ ， ）在两个给定多边形之间创建相交多边形（两多边形的公共区域）。

例 1. 如图：边长为a的两个正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，并且这个正方形绕中心转动。试计算两个正方形公共区域的面积。

图1

作图过程：

1. 利用正多边形工具作一个正方形 ABCD ，利用中点/中心工具作出正方形的中心 E ；以正方形的中心为圆心、边长为半径作一个圆，并在圆周上任取一点 F ，再利用多边形指令作出第二个正方形 EFGH 。

图2

2. 利用指令：

相交路径(p1,p2)

即可作出两个正方形的公共区域，对点 F 启动动画即可。（这里的p1、p2指两个正方形)

说明：相交路径法仅适合表示两个多边形的公共区域，不适合其它图形（如圆弧、函数构成的区域）。对于两个多边形，还有一个差集指令，我们也应该了解一下，如图：

图3差集(t1,t2)

得到的是左侧多边形，如图所示的阴影部分：

图4差集(t2,t1)

得到的图形是右侧多边形，如图所示的阴影部分：

图5

另外还有并集指令：

并集( , )

与代数中并集的含义基本类似。

二、不等式法

例 2. 将椭圆 \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 与椭圆 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1 的公共区域表示出来。

图6

作图过程：

只须一条指令即可作出完整图形：

x² / 25 + y² / 9 ≤ 1 ∧ x² / 9 + y² / 25 ≤ 1

解释一下：在中，用∧、∨、¬三个符号分别表示且、或、非三个逻辑变量，注意，“∧”不是键盘上输入乘方的那个符号“^”，二者不同，可用辅助键盘来输入。

例 3. 将椭圆 \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 绕原点分别旋转 60°、 120° 后公共区域围成的图形表示出来。

图7

作图过程：

c1:x^2/25+y^/9≤1

c2:旋转(c1,pi/3)

c3:旋转(c1,2pi/3)

c1&&c2&&c3

提示：在中输入“∧”用两个连字符“&&”代替；输入"∨"用两个竖线“||”代替；输入“¬”用一个叹号“！”代替，你可以在中按顺序依次将上述指令复制到地址栏中观看作图过程，下同。

例 4. （2022年高考全国乙卷文科数学第 5 题）：

若 x，y 满足约束条件 \begin{cases}x+y\ge 2 \\x+2y\le 4 \\y\ge 0 \end{cases} ，则 z=2x-y 的更大值是.

A. -2\qquad\qquad B. 4\qquad\qquad C. 8 \qquad\qquad D. 12

解题过程：

1. 在的指令栏中输入：

x+y>=2&&x+2y=0

确定之后，在绘图区就会出现下图：

图8

即把可行域表示出来了。

2. 输入目标函数：

2x-y=m

确定之后系统提示：

图9

创建一个关于 m 的滑动条，并根据题目具体情况改变滑动条的范围。

特别提醒：这里的目标函数不能输入为： z=2x-y ，因为在中， x、y、z 是有固定含义的，即作为函数的自变量使用的。

图10

3. 拖动滑动条即可观察到目标函数的取值情况，显然直线 2x-y=m 经过 (4,0) 时， m 取得更大值为 8 .

三、积分法

对于函数与直线、两函数相交构成的区域，我们一般采用积分法来作出符合条件的区域。积分法我们需要熟悉中的两条指令：

一是积分指令：

积分( )

积分( , )

积分( , , )

积分( , , , )

例如：计算 f(x)=\sin x 在区间 [0,\pi] 上的积分。

在中输入下面两条指令：

f:sin(x)

积分(f,0,pi)

则绘图区中显示：

图11

可以看出：积分指令不但可以计算出 f(x)=\sin x 在区间 [0,\pi] 上的积分值（面积），同时也把 \sin x 与 x 轴围成的区域表示出来了。

二是积分介于指令：

积分介于( , , , )

积分介于( , , , , )

例如：对于 f(x)=\sin x 、 g(x)=\cos x ，设 A、B 是其在 [0,2\pi] 上的两个交点，计算由 f(x)、g(x) 两函数在两交点 A、B 之间围成的图形的面积。

我们在在中首先作出两个函数的图像，并利用交点工具作出 A、B 两个点，然后输入下面一条指令：

积分介于(f,g,x(A),x(B))

图12

即可计算出积分值为 2.83 ，并将区域表示出来。指令中的x(A)、x(B)指的是 A、B 两点的横坐标。

提示：如果只想将区域表示出来，而不显示积分值，则只须在指令后面加个参数：false

例 5. 如图，直线 y=kx 分抛物线 y=x-x^2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值。

作图过程：

1. 作出函数 f(x)=x-x^2 及 g(x)=kx 的图像，并作出两图像的交点 A ，调整滑动条至适当位置；

图13

2. 利用积分介于指令作出上半部阴影部分，指令为：

积分介于(f,g,x(A))

图14

3. 利用不等式法作出下半部阴影部分，指令为：

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